Nilai Peluang Suatu Kejadian

Kita ketahui bahwa peluang suatu kejadian dapat dihitung dengan dua cara yaitu dengan pendekatan frekuensi relatif dan dengan rumus peluang. Bagaimana kisaran nilai peluang suatu kejadian? Apakah mungkin suatu kejadian memiliki peluang lebih dari satu? Apakah mungkin suatu kejadian memiliki peluang kurang dari nol?

Untuk mengetahui nilai peluang, silahkan simak penjelasan berikut ini. Misalkan Anda bermain permainan ular tangga, maka hasil pelemparan yang mungkin muncul adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sehingga ruang sampel dari dadu tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Misalnya kita ingin mengetahui nilai peluang munculnya muka dadu nomor 7 atau K = { } atau n(K) = 0, yakni:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 0/6

P(K) = 0

Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti kejadian tersebut mustahil atau tidak mungkin terjadi. Pada mata dadu hanya ada titik bertitik 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sehingga tidak mungkin pada muncul muka dadu bertitik 7.

Peluang munculnya muka dadu yang bertitik 2 atau K = {2} atau n(K) = 1 adalah:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 1/6

Peluang munculnya muka dadu bertitik kurang dari 4 atau K = {1, 2, 3} dan n(K) = 3 adalah:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 3/6

P(K) = ½

Peluang munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 maka K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(K) = 6 sehingga:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 6/6

P(K) = 1

Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, berarti kejadian tersebut pasti terjadi.

Berdasarkan pemaparan di atas, maka nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Secara matematis, ditulis:

0 ≤ P(K) ≤ 1

dengan P(K) adalah peluang suatu kejadian K.

Jika L merupakan kejadian komplemen dari kejadian K maka peluang kejadian L adalah satu dikurangi peluang kejadian K. Secara matematis, ditulis:

P(L) = 1 − P(K) atau P(L) + P(K) = 1

Misalnya, peluang Ayu dapat juara kelas adalah 0,8 maka peluang Ayu tidak dapat juara kelas adalah 1 − 0,8 = 0,2.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang nilai peluang suatu kejadian, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Sebuah kantong berisi 3 bola kuning (K), 5 bola hijau (H), dan 7 bola biru (B). Jika satu bola diambil secara acak dengan pengembalian, tentukan peluang terambilnya bola dengan warna

a. kuning,

b. hijau,

c. biru,

d. bukan kuning,

e. bukan biru.

Penyelesaian:

n(S) = 3 + 5 + 7 = 15, maka:

a.       Peluang terambilnya bola dengan warna kuning (K) di mana n(K) = 3, yakni:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 3/15

P(K) = 1/5

b.      Peluang terambilnya bola dengan warna hijau (H) di mana n(H) = 5, yakni:

P(H) = n(H)/n(S)

P(H) = 5/15

P(H) = 1/3

c.       Peluang terambilnya bola dengan warna biru (B) di mana n(B) = 7, yakni:

P(B) = n(B)/n(S)

P(B) = 7/15

d.      Peluang terambilnya bola dengan bukan warna kuning (BK) di mana P(K) = 1/5, yakni:

P(BK) = 1 − P(K)

P(BK) = 1 – 1/5

P(BK) = 5/5 – 1/5

P(BK) = 4/5

e.       Peluang terambilnya bola dengan bukan warna biru (BB) di mana P(B) = 7/15, yakni:

P(BB) = 1 − P(B)

P(BB) = 1 – 7/15

P(BB) = 15/15 – 7/15

P(BB) = 8/15

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Mungkin Anda pernah berbelanja di supermarket. Pada hari-hari tertentu (misalnya pada saat supermarket tersebut merayakan ulang tahun) biasanya mengadakan undian berhadiah. Setiap berbelanja dengan kelipatan tertentu akan mendapat sebuah kupon yang nantinya akan diundi. Kupon tersebut harus di isi nama, alamat tempat tinggal dan no hp yang bisa dihubungi.

Semakin banyak kupon undian berhadiah yang Anda kirimkan, harapan Anda untuk mendapatkan hadiah tersebut semakin besar. Harapan Anda untuk mendapatkan hadiah undian di dalam matematika disebut frekuensi harapan. Jadi, frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Konsep frekuensi harapan sangat erat sekali kaitannya dengan konsep peluang. Oleh karena itu, Anda harus paham terlebih dahulu dengan konsep peluang khususnya tentang rumus mencari peluang suatu kejadian dan nilai peluang suatu kejadian. Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan Fh. Secara matematis ditulis

F_h = P(K) . N

Dengan:

P(K)  = peluang kejadian K

N       = banyaknya percobaan

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang frekuensi harapan suatu kejadian, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Diketahui bahwa peluang seorang penembak akan menembak tepat mengenai sasaran adalah 0,69. Di antara 100 orang penembak,

(a) Berapa orang yang diperkirakan menembak tepat mengenai sasaran?

(b) Berapa orang yang diperkirakan menembak tidak tepat mengenai sasaran?

Penyelesaian:

Untuk mencari berapa orang yang diperkirakan menembak tepat mengenai sasaran, dapat digunakan rumus frekuensi harapan suatu kejadian. Di mana P(K) = 0,69 dan N = 100 orang, maka:

F_h = P(K) . N

F_h = 0,69 . 100 orang

F_h = 69 orang

Jadi, banyak orang yang diperkirakan menembak tepat mengenai sasaran adalah 69 orang.

Untuk mencari berapa orang yang diperkirakan menembak tidak tepat mengenai sasaran, kita harus mencari peluangnya terlebih dahulu. Misalkan L merupakan kejadian orang yang menembak tidak tepat mengenai sasaran, maka:

P(L) = 1 − P(K)

P(L) = 1 – 0,69

P(L) = 0,31

Banyak orang yang diperkirakan menembak tidak tepat mengenai sasaran dapat digunakan rumus frekuensi harapan yakni:

F_h = P(L) . N

F_h = 0,31 . 100 orang

F_h = 31 orang

Jadi, banyak orang yang diperkirakan menembak tidak tepat mengenai sasaran adalah 31 orang.

Contoh Soal 2

Wedra melemparkan sebuah dadu sebanyak 180 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik:

a). ganjil,

b). genap,

c). lebih dari 3.

Penyelesaian:

N = 180 kali dan ruang sampel dari dadu tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(S) = 6, maka:

a)      Peluang munculnya muka dadu yang bertitik ganjil atau K = {1, 3, 5} atau n(K) = 3 adalah:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 3/6

P(K) = ½

Frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik ganjil yakni:

F_h = P(K) . N

F_h = ½ . 180 kali

F_h = 90 kali

b)      Peluang munculnya muka dadu yang bertitik genap atau K = {2, 4, 6} atau n(K) = 3 adalah:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 3/6

P(K) = ½

Frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik genap yakni:

F_h = P(K) . N

F_h = ½ . 180 kali

F_h = 90 kali

c)      Peluang munculnya muka dadu yang bertitik lebih dari 3 atau K = {4, 5, 6} atau n(K) = 3 adalah:

P(K) = n(K)/n(S)

P(K) = 3/6

P(K) = ½

Frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik lebih dari 3 yakni:

F_h = P(K) . N

F_h = ½ . 180 kali

F_h = 90 kali

Cara Menentukan Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah kejadian yang diperoleh dari kejadian-kejadian sederhana yang dihubungkan kata “dan” atau kata “atau”. Jadi peluang kejadian majemuk dibedakan menjadi dua yakni peluang kejadian saling lepas, peluang kejadian saling bebas, dan peluang kejadian yang tidak terpisah.

Peluang Kejadian Saling Lepas

Peluang kejadian saling lepas atau sering disebut sebagai peluang kejadian terpisah satu sama lain merupakan peluang suatu kejadian yang dapat dihubungkan dengan kata sambung “atau”. Sebagai contoh, misalkan kita diminta untuk menghitung peluang pengambilan kartu K (king) atau A (As) dari tumpukan kartu bridge. Kita ketahui bahwa dalam satu kartu tidak mungkin akan berlaku K dan A, maka kita katakan bahwa kejadian ini terpisah satu sama lain atau saling lepas atau saling asing dan kedua kejadian tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan.

Kartu King dan As pada kartu bridge

Peluang dua kejadian yang terpisah satu sama lain ditentukan dengan menambahkan kedua peluang kejadian masing-masing dengan rumus:

P(K atau A) = P(K) + P(A)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian yang terpisah satu sama lain, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 1

Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama satu kali. Peluang mucul mata dadu berjumlah 7 atau 10.

Penyelesaian:

Misalkan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 7 adalah A dan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 10 adalah B, maka:

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (6,1), (5,2), (4,3)}

n(A) = 6

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

n(B) = 3

n(S) = 36

P(A) = n(A)/n(S)

P(A) = 6/36

P(B) = n(B)/n(S)

P(A) = 3/36

P(A atau B) = P(A) + P(B)

P(A atau B) = (6/36) + (3/36)

P(A atau B) = 9/36

P(A atau B) = ¼

Peluang Kejadian Saling Bebas

Peluang suatu kejadian saling bebas merupakan peluang suatu kejadian dimana hasil kejadian pertama tidak mempengaruhi hasil pada kejadian kedua. Misalnya kita memiliki dua buah kaleng kosong, dua buah permen rasa cokelat dan dua permen rasa jeruk. Kemudian kita masukan pada masing-masing kaleng dengan dua buah permen yang beda rasa (cokelat dan jeruk). Kemudian kita ambil permen yang ada di kaleng pertama dan kita juga mengambil permen pada kaleng kedua, maka pengambilan permen pada kaleng pertama tidak mempengaruhi pengambilan permen pada kaleng kedua. Nah, kejadian semacam ini disebut kejadian saling bebas sebab hasil kejadian pertama tidak mempengaruhi hasil pada kejadian kedua. Peluang dari dua kejadian bebas diperoleh dari hasil kali peluang kejadian pertama dan peluang kejadian kedua dan dirumuskan dengan:

P (A dan B) = P (A) × P (B)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian saling bebas, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 2

Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama satu kali. Peluang mucul mata dadu berjumlah 7 dan 10.

Penyelesaian:

Misalkan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 7 adalah A dan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 10 adalah B, maka:

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (6,1), (5,2), (4,3)}

n(A) = 6

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

n(B) = 3

n(S) = 36

P(A) = n(A)/n(S)

P(A) = 6/36

P(B) = n(B)/n(S)

P(A) = 3/36

P(A dan B) = P(A) × P(B)

P(A dan B) = (6/36) × (3/36)

P(A dan B) = 18/36

P(A dan B) = 18/1296

P(A dan B) = 1/72

Peluang Kejadian yang Tidak Terpisah

Kejadian yang tidak terpisah dapat dikatakan sebagai hubungan peluang kejadian saling lepas dengan peluang kejadian saling bebas, karena terkadang kita melihat suatu kejadian-kejadian yang dihubungkan kata “atau” tetapi tidak bersifat terpisah satu sama lain. Sebagai contoh, Iwan ingin melihat bintang kejora di pagi hari, untuk bulan Oktober ada peluang langit akan mendung pada hari Senin dan juga ada peluang langit akan mendung pada hari Selasa. Iwan ingin mencari peluang langit akan mendung pada hari Selasa. Oleh karena langit dapat mendung pada hari Senin dan Selasa, maka mendungnya langit pada hari Senin dan Selasa bukan kejadian yang saling terpisah satu sama lain. Nah, kejadian tersebut dikenal sebagai kejadian yang tidak terpisah.

Untuk mencari peluang dari dua kejadian yang tidak terpisah satu sama lain diperoleh dengan menambahkan peluang kedua kejadian, kemudian menguranginya dengan peluang kejadian bersama yang dirumuskan sebagai berikut:

P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian yang tidak terpisah satu sama lain, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 3

Jika peluang listrik padam hari Rabu adalah 10% dan peluang listrik padam hari Jumat adalah 15%, tentukan peluang listrik padam hari Rabu atau Jumat.

Penyelesaian:

Oleh karena dapat terjadi pemadaman listrik pada kedua hari, kejadian ini adalah kejadian yang tidak terpisah satu sama lain. Kejadian ini juga saling bebas, karena pemadaman listrik pada hari Rabu tidak mempengaruhi pemadaman listrik hari Jumat. Kita ketahui bahwa:

P(R) = 10% = 0,10

P(J) = 15% = 0,15.

P(R atau J) = P(R) + P(J) – P(R dan J)

P(R atau J) = 0,10 + 0,15 – (0,10)(0,15)

P(R atau J) = 0,25 – 0,015

P(R atau J) = 0,235

P(R atau J) = 23,5%

Jadi, peluang akan terjadi pemadaman listrik pada hari Rabu atau Jumat adalah 23,5%.