Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga

Syarat dua segitiga yang sebangun adalah jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang besesuaian sama besar. Dari syarat dua segitiga yang sebangun tersebut kita akan mencari perbandingan ruas garis pada segitiga. Sebenarnya konsep ini sudah Anda pelajari pada waktu kelas VII semester II tentang materi garis dan sudut.

Untuk mengetahui bagaimana perbandingan ruas/segmen garis pada segitiga perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas diketahui bahwa BC//DE, oleh karena itu pada gambar di atas akan berlaku:

∠DAE = ∠BAC (sudut berimpit)

∠ADE = ∠ABC (sudut sehadap)

∠AED = ∠ACB (sudut sehadap)

Kita ketahui bahwa jika sudut-sudut yang besesuaian sama besar maka dua segitiga tersebut sebagun. Oleh karena itu, ∆ADE dan ∆ABC merupakan dua segitiga yang sebangun. Karena ∆ADE dan ∆ABC sebangun maka akibatnya sisi-sisi yang bersesuaian akan sebanding, yakni:

AE/AC = AD/AB = DE/BC . . . .(**)

Jika pada gambar di atas, AD = p, BD = q, AE = r, CE = s, DE = t, dan BC = u, dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, maka persamaan ** akan menjadi:

AE/AC = AD/AB = DE/BC

AE/(AE + CE) = AD/(AD + BD) = DE/BC

r/(r + s) = p/(p + q) = t/u

Sekarang amati perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q)!

Jika kedua ruas tersebut dikalikan dengan (r + s)(p + q),

maka perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q) akan menjadi:

r/(r + s) = p/(p + q)

(r + s)(p + q).r/(r + s) = (r + s)(p + q).p/(p + q)

 (p + q).r = (r + s).p

pr + qr = pr + ps

qr = ps

q/p = s/r

Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada gambar di atas adalah sebagai berikut:

q/p = s/r

Berdasarkan perbandingan q/p = s/r dapat dikatakan bahwa jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perbandingan ruas garis pada segitiga, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan panjang OM dan ON pada gambar di atas!

Penyelesaian:

Diketahui :

MN = 12 cm

MP = 3 cm

PN = 9 cm

Ditanya :

Panjang OM dan ON = …?

Jawab :

OM = √(MP.MN)

OM = √(3 cm.12 cm)

OM = √(36 cm²)

OM = 6 cm

ON = √(NP.MN)

ON = √(9 cm.12 cm)

ON = √(108 cm²)

ON = √(36.3 cm²)

ON = 6√3 cm

Jadi panjang OM dan ON adalah 6 cm dan 6√3 cm.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui bahwa ∆PRQ siku-siku, begitu juga dengan ∆PSR. Nyatakan t dalam p, q, dan r.

Penyelesaian:

Diketahui :

PQ = r

PR = q

QR = p

RS = t

Ditanya :

Nyatakan t dalam p, q, dan r

Jawab :

Pada gambar segitga siku-siku pada contoh soal 2 tampak bahwa:

1) ∠PRQ = ∠PSR (siku-siku);

2) ∠QPR = ∠SPR (berimpit).

3) ∠PQR = ∠PRS

Oleh karena itu, ∆PQR sebangun dengan ∆PSR sehingga berlaku hubungan:

RS/QR = PR/PQ

       t/p = q/r

Syarat Dua Segitiga Sebangun

Masih ingatkah Anda dengan materi garis dan sudut yaitu pada pembahasan tentang perbandingan segmen garis? Untuk mengetahui syarat dua segitiga dikatakan sebangun dapat menggunakan konsep perbandingan segmen garis. Sekarang perhatikan gambar segmen garis di bawah ini.

Gambar di atas merupakan sebuah segitiga ABC, diantara garis AB dibuat sebuah garis menuju antara garis AC yaitu garis DE. Di mana garis BC sejajar dengan garis DE.

Jika kita lihat pada gambar di atas terdapat dua buah segitiga yaitu segitiga ADE dan segitiga ABC. Jika di gambarkan seperti gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi segitiga ADE dan ABC diukur maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.

AE/AC = AD/AB = DE/BC

Sedangkan jika masing-masing sudut segitiga ADE dan ABC diukur maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.

∠DAE = ∠BAC, ∠ADE = ∠ABC, dan ∠AED = ∠ACB

Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa “syarat dua segitiga sebangun adalah jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang besesuaian sama besar”.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang syarat dua segitiga sebangun perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Buktikan bahwa ∆ABC dan ∆A'B'C' pada gambar di atas sebangun!

Penyelesaian:

Diketahui :

AB = 8 cm

BC = 6 cm

A’C’ = 5 cm

B’C’ = 3 cm

Ditanya :

Buktikan bahwa ∆ABC dan ∆A'B'C' pada gambar di atas sebangun!

Jawab :

Untuk mengetahui apakah kedua segitiga di atas sebagun, harus dicari semua sisi dari segitiga tersebut. Sekarang kita cari sisi AC dengan menggunakan teoreme Phytagoras yakni:

AC = √(AB² + BC²)

AC = √(8² + 6²)

AC = √(64 + 36)

AC = √100

AC = 10

Sekarang kita cari panjang sisi A’B’ pada segitiga A’B’C’ di atas yakni:

A’B’ = √(A’C’² – B’C’²)

A’B’ = √(5² – 3²)

A’B’ = √(25 – 9)

A’B’ = √16

A’B’ = 4

Sekarang cari perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian maka:

AB/A’B’ = 8/4 = 2

BC/B’C’ = 6/3 = 2

AC/A’C’ = 10/5 = 2

Ini berati bahwa AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’. Karena sisi-sisi yang besesuaian memiliki perbandingan yang sama maka ∆ABC sebangun dengan ∆A'B'C'.

Pengertian Kekongruenan Pada Bangun Datar

Untuk memahami pengertian kekongruenan pada bangun datar, silahkan simak ilustrasi berikut ini.

Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.

Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C =>F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,

AB => BE sehingga AB = BE

BC => EF sehingga BC = EF

DC => CF sehingga DC = CF

AD => BC sehingga AD = BC

∠DAB =>  ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE

∠ABC =>  ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF

∠BCD =>  ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC

∠ADC =>  ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF

Berdasarkan pemaparan di atas maka diperoleh bahwa:

1.  Sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang.

2.  Sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa “dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen”. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Dua bangun datar dikatakan kongruen jika kedua bangun datar tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Jika dua bangun datar kongruen maka:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan

2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang pengertian kekongruenan, silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Theorema Pythagorasseperti berikut.

PQ = √(PR)² - (QR)²

PQ = √(10)² - (6)²

PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°.

 Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar.

Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Contoh Soal 2 

Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

Tentukan besar sudut E! 

Penyelesaian:
Karena kedua bangun di atas kongruen maka sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar.
∠A = ∠F = 45°
∠C = ∠H = 60°
∠D = ∠G = 120°
∠B = ∠E = ?

Ingat** karena kedua bangun kongruen maka jumlah sudut pada bangun datar ABCD sama dengan jumlah sudut pada bangun datar EFGH = 360°, maka:

<=> ∠E = 360° - (∠F + ∠H + ∠G)
<=> ∠E = 360° - (45° + 60° + 120°)
<=> ∠E = 360° - 225°
<=> ∠E = 35°
Jadi besar sudut E adalah 35°