Cara Menghitung Luas Permukaan Kerucut

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai benda-benda berbentuk kerucut, misalnya nasi tumpeng, caping atau topi petani, topi ulang tahun, dan rumah adat Mbaru Niang di Flores, seperti gambar di bawah ini.

Secara geometris gambar benda-benda di atas yang berbentuk bangun ruang kerucut dapat digambarkan seperti gambar bawah ini.

Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi bangun ruang kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada gambar di atas, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut, dan s disebut garis pelukis.

Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang keliling alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut, seperti gambar di bawah ini.

Jika diperhatikan luas permukaan kerucut di atas terdiri dari luas alas lingkaran A dan luas selimut BCB’. Untuk menghitung luas permukaan kerucut, kita harus mencari luas selimut terlebih dahulu. Luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran. Dalam hal ini, luas selimut tersebut merupakan luas juring lingkaran dengan titik pusat di C dan berjari-jari s (garis pelukis kerucut menjadi jari-jari lingkaran C), seperti gambar di bawah ini.

Maka, luas selimut kerucut atau luas juring BCB’ dapat di cari dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran, yakni

Luas BCB’/Luas C = Panjang BB’/keliling C

Dalam hal ini panjang BB’ merupakan kelilig lingkaran A yakni 2πr, sedangkan luas lingkaran C dapat dicari dengan menggunakan jar-jari s yang merupakan garis pelukis kerucut yakni πs² dan keliling lingkaran C dapat dicari yakni 2πs. Maka persamaan di atas menjadi:

Luas BCB’/πs² = 2πr/2πs

Luas BCB’/πs² = r/s

Luas BCB’ = πs²r/s

Luas BCB’ = πrs

Jadi luas selimut kerucut dapat dirumuskan:

L selimut = πsr

Sedangkan alas kerucut merupakan luas lingkaran A yakni πr², maka luas permukaan kerucut dapat dicari yakni:

L = luas alas + luas selimut

L = πr² + πsr

L =πr(r+s)

Jadi luas permukaan kerucut dapat dirumuskan:

L = πr(r+s)

Panjang s dapat dicari dengan menggunakan teorema Phytagoras, yakni:

s² = r² + t²

s = √(r² + t²)

Contoh Soal

Luas permukaan kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm adalah ….

A.  85 π cm²

B.  90 π cm²

C.  220 π cm²

D.  230 π cm²

(Soal UN 2010/2011)

Penyelesaian:

Kita harus mencari nilai s terlebih dahulu, dalam hal ini r = d/2 = 5 cm, maka:
s = √(r² + t²)

s = √(5² + 12²)

s = √(25 + 144)

s = √169

s = 13 cm

L = πr(r+s)

L = π.5.(5+13)

L = 90 π cm²

Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 90 π cm² (Jawaban B)

Pengertian dan Unsur-Unsur Kerucut

Pernahkah Anda mendengar kerucut lalu lintas? Kerucut lalu lintas dalam bahasa inggris dikenal dengan nama traffic cone, merupakan alat untuk mengatur lalu lintas yang bersifat sementara yang berbentuk kerucut. Biasanya digunakan untuk melindungi pekerja di jalan yang sedang melakukan pekerjaan perawatan dan pemeliharaan jalan. 

Kerucut lalu lintas

Sesuai dengan namanya, kerucut lalu lintas berbentuk bangun ruang kerucut. Tahukah Anda apa pengertian kerucut?

Kerucut dapat didefinisikan sebagai bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar satu putaran penuh (360°), di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran seperti gambar di bawah ini.  

Bangun ruang kerucut pada gambar di atas dibentuk dari segitiga siku-sikuTOA dengan siku-siku di titik O. Kemudian segitiga siku-siku tersebut yang diputar, di mana sisi TO sebagai pusat putaran maka diperoleh bangun ruang seperti gambar traffic cone di atas.  

Sama seperti bangun ruang tabung, bangun ruang kerucut juga memiliki unsur-unsur penyusunnya. Untuk mengetahui unsur-unsur kerucut perhatikan gambar di bawah ini.

a.      Sisi Alas Kerucut

Sisi alas kerucut merupakan sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat O (lihat gambar di atas).

b.      Jari-Jari Kerucut

Sekarang perhatikan titik A dan O dan titik B dan O pada bidang alas kerucut. Ruas garis AO dan BO dinamakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang alas kerucut). Jari-jari lingkaran merupakan jarak pusat lingkaran ke titik pada lingkaran.

c.       Diameter atau Garis Tengah Lingkaran

Sekarang perhatikan ruas garis AB. Ruas garis AB dinamakan diameter atau garis tengah lingkaran. Diameter lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran. Panjang diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jari lingkaran.

d.      Tinggi Kerucut

Sekarang perhatikan titik O dan T. Ruas garis yang menghubungkan titik O dan T dinamakan tinggi kerucut, biasanya dinotasikan dengan t. Tinggi kerucut disebut juga sumbu simetri putar kerucut.

e.       Selimut Kerucut

Selimut kerucut merupakan bidang kerucut selain bidang alas atau bidang lengkung. Selimut kerucut sering disebut dengan sisi lengkung kerucut. Garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak T ke titik pada lingkaran (misalnya TA dan TB) dinamakan garis pelukis kerucut (s).

Cara Menghitung Volume Tabung

 

Tabung merupakan bangun ruang prisma dengan alasnya berbentuk lingkaran. Jadi supaya Anda paham cara menentukan volume tabung, harus dipahami terlebih dahulu cara menentukan volume prisma.

Kita telah ketahui bahwa volume prisma dapat dicari dengan persamaan matematis:

V = L. alas x tinggi

Telah disinggung di atas bahwa tabung merupakan prisma dengan alas berbentuk lingkaran. Luas lingkaran dapat dicari dengan persamaan:

L = πr²

Maka volume tabung dapat dicari yakni:

V = L. alas x tinggi

V = πr² x t

V = πr²t

Contoh Soal 1

Tabung dengan panjang jari-jari 10 cm berisi minyak setinggi 14 cm. Ke dalam tabung itu dimasukkan minyak lagi sebanyak 1,884 liter. Tinggi minyak dalam tabung sekarang adalah …. (π = 3,14)

A. 16 cm

B. 18 cm

C. 19 cm

D. 20 cm

(Soal UN 2009/2010)

Penyelesaian:

Diketahui :

r = 10 cm

t₁ = 14 cm

Konversi satuan liter ke cm³

1 liter = 1 dm³ = 1000 cm³

1,884 liter = 1884 cm³

Ditanya :

t₂ = …?

Jawab :

Kita harus cari tinggi minyak yang ditambahkan dengan menggunakan volume tabung:

V = πr²t

1884 cm³ = 3,14 (10 cm)².t

1884 cm³ = (314 cm²).t

t = 1884 cm³/314 cm²

t = 6 cm

Tinggi minyak sebelum ditambahkan adalah 14 cm, maka tinggi minyak di dalam tabung sekarang yakni:

t₂ = t₁  + t

t_{2 =} 14 cm + 6 cm

t₂ = 20 cm

Jadi, tinggi minyak dalam tabung sekarang adalah 20 cm (Jawaban D)

Cara Menghitung Luas Permukaan Tabung

Masih ingatkah Anda dengan unsur-unsur tabung? Salah satu unsur dari tabung adalah selimut tabung. Jika sebuah tabung direbahkan/dibelah dengan cara memotong sepanjang ruas garis AC, keliling alas, dan keliling tutup tabung ditempatkan pada bidang datar maka diperoleh jaring-jaring tabung, seperti gambar di bawah ini.

Jaring-jaring tabung tersebut teridiri dari dua buah lingkaran sebuah persegi panjang yang merupakan selimut tabung. Selimut tabung pada gambar di atas berbentuk persegipanjang A₁A₂C₂C₁. Untuk menentukan luas permukaan tabung Anda harus paham dengan konsep keliling dan luas lingkaran. Masih ingatkah Anda cara menentukan keliling dan luas sebuah lingkaran?

Kita harus menentukan luas selimut tabung terlebih dahulu. Di mana luas selimut tabung akan menjadi luas persegi panjang jika dibelah, dengan ketentuan tinggi tabung (t) menjadi lebar (l) persegi panjang dan keliling lingkaran (2πr) akan menjadi panjang (p) persegi panjang. Jadi, luas selimut tabung adalah:

L. selimut = p . l

L. selimut = 2πr . t

L. selimut = 2πrt

Maka luas permukaan tabung dapat dicari dengan cara menjumlahkan antara luas alas, luas tutup, dan luas selimut tabung. Dalam hal ini luas alas sama dengan luas tutup yang merupakan luas lingaran (πr²), maka:

L. tabung = L. alas + L. tutup + L. selimut

L. tabung = 2.(L. alas) + L. selimut

L. tabung = 2πr² + 2πrt

L. tabung = 2πr(r + t)

Jadi, untuk menghitung luas permukaan tabung dapat digunakan rumus:

L. tabung = 2πr(r + t)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menghitung luas permukaan tabung, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Sebuah tabung berjari-jari 5 cm. Jika tingginya 5 cm dan π = 3,14, hitunglah luas permukaannya.

Penyelesaian:

Diketahui :

r = 5 cm

t = 5 cm

π = 3,14

Ditanya :

Hitunglah luas permukaannya = …?

Jawab :

Gunakan rumus:

L. tabung = 2πr(r + t)

L. tabung = 2 . 3,14 . 5 cm . (5 cm + 5 cm)

L. tabung = 2 . 3,14 . 5 cm . 10 cm

L. tabung = 314 cm²

Jadi, luas permukaan tabung adalah 314 cm².

Contoh Soal 2

Diketahui luas selimut suatu tabung adalah 1.408 cm². Jika jari-jari alasnya 14 cm, tentukan luas permukaan tabung tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui :

L.selimut tabung = 1.408 cm²

r = 14 cm

Ditanya :

Tentukan luas permukaan tabung = …?

Jawab :

Kita harus mencari tinggi dari tabung tersebut dengan menggunakan rumus luas selimut tabung yakni:

L. selimut = 2πrt

1.408 = 2 . (22/7) . 14 . t

1.408 = 88 . t

t = 1.408/88

t = 16 cm

Sekarang cari luas permukaan tabung dengan menggunakan rumus:

L. tabung = 2πr(r + t)

L. tabung = 2 . (22/7) . 14 cm . (14 cm + 16 cm)

L. tabung = 2 . 22 . 2 cm . 30 cm

L. tabung = 2640 cm²

Jadi, luas permukaan tabung adalah 2.640 cm².

Contoh Soal 3

Jika luas permukaan tabung dengan jari-jari 7 cm dan π = 22/7 adalah 748 cm². Tentukan tinggi tabung tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui :

r = 7 cm

π = 22/7

Luas permukaan tabung = 748 cm²

Ditanya :

Tentukan tinggi tabung = …?

Jawab :

Untuk mencari tinggi tabung tersebut dapat digunakan rumus mencari luas permukaan tabung yakni:

L. tabung = 2πr(r + t)

748 = 2. (22/7) . 7. (7 + t)

748 = 44(7 + t)

748 = 308 + 44t

748 – 308 = 132t

440 = 44t

t = 440/44

t = 10 cm

Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 10 cm.