Rumus Keliling dan Luas Bangun Datar

Sebelum Anda mengetahui rumus keliling dan luas bangun datar, terlebih dahulu Anda harus paham dengan pengertian bangun datar. Apa pengertian bangun datar secara matematika?

Bangun datar atau sering disebut sebagai bangun dua dimensi merupakan bangun datar yang hanya memiliki panjang dan lebar, yang dibatasi oleh garis lurus atau lengkung. Ada beberapa jenis bangun datar yang kita kenal yakni: persegi panjang, persegi, segitiga, jajargenjang, trapesium, belah ketupat, layang-layang dan lingkaran. Untuk gambarnya silahkan lihat gambar di bawah ini.

1.      Persegi Panjang

Pengertian persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan memiliki empat sudut siku-siku.

Rumus untuk mencari keliling dan luas persegi panjang yakni:

K = 2(p + l)

L = p x l

2.      Persegi atau Bujur Sangkar

Pengertian persegi atau bujur sangkar adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku.

Rumus untuk mencari keliling dan luas persegi atau bujur sangkar yakni:

K = 4s

L = s²

3.      Segitiga

Pengertian segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut.

Rumus untuk mencari keliling dan luas segitiga yakni:

K = a + b + c.

L = ½ x alas x tinggi

Atau

L = ½ x a x t

4.      Jajargenjang

Pengertian jajargenjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah putaran (180°) pada titik tengah salah satu sisinya.

Rumus untuk mencari keliling dan luas jajar genjang yakni:

K = 2(sisi alas + sisi miring)

Atau

K = 2(a + b)

L = alas x tinggi

Atau

L = a x t

5.      Trapseium

Pengertian trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

Rumus untuk mencari keliling dan luas trapesium yakni:

K = jumlah seluruh sisi trapesium

Atau

K = a + b + c + d

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi

Atau

L = ½ x (a + c) x t

6.      Belah Ketupat

Pengertian belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.

Rumus mencari keliling dan luas belah ketupat yakni:

K = 4s

L = ½ x d1 x d2

7.      Layang-layang

Pengertian layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.

Rumus untuk mencari keliling dan luas layang-layang yakni:

K = jumlah semua sisinya

Atau

K = 2(x + y)

L = ½ x d1 x d2

8.      Lingkaran

Pengertian lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Rumus untuk mencari keliling dan luas lingkaran yakni:

K = 2πr

Atau

K = πd

L = πr²

Kesimpulan**

Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan tentang keliling dan luas bangun datar yakni rumus keliling dan luas untuk:

1. Persegi panjang: K = 2(p+l) dan L = p.l

2. Persegi: K = 4s dan L = s²

3. Segitiga: K = a + b + c,  dan L = a x t

4. Jajar genjang: K = 2(a + b) dan L = a x t

5. Trapesium: K = a + b + c + d, dan L = ½ x (a + c) x t

6. Belah ketupat: K = 4s dan L = ½ x d1 x d2

7. Layang-layang: K = 2(x + y) dan L = ½ x d1 x d2

8. Lingkaran: K = 2πr dan L = πr²

Panjang Garis dan Besar Sudut dari Bangun Geometri

Konsep dua segitiga yang kongruen yang sudah diposting, dapat digunakan untuk menentukan panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajargenjang, belah ketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun geometri, silahkan Anda pelajari uraian berikut. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik B. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC sedemikian rupa sehingga∠ABT = 30°, maka besar ∠ATB dapat ditentukan dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut dalam segitiga yakni:

∠ATB = 180 – (∠ABT + ∠BAT)

∠ATB = 180° – (30° + 30°)

∠ATB = 120°

Kita ketahui bahwa ∠ATB dan ∠BTC merupakan sudut saling pelurus maka:

∠BTC = 180° – ∠ATB

∠BTC = 180° – 120°

∠BTC = 60°

Kita juga ketahui bahwa ∠ABT dan ∠CBT merupakan sudut penyiku, maka:

∠CBT = 90° – ∠ABT

∠CBT = 90° – 30°

∠CBT = 60°

Untuk mencari besar ∠BCT dapat digunakan konsep jumlah sudut-sudut dalam segitiga, yakni:

∠BCT = 180° – (∠BTC + ∠CBT)

∠BCT = 180° – (60° + 60°)

∠BCT = 60°

Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas tampak bahwa ∠BAT = ∠ABT = 30° sehingga ∆ABT sama kaki, dalam hal ini AT = BT. Selain itu, ∠CBT = ∠BCT = ∠BTC = 60° sehingga ∆BTC sama sisi, dalam hal ini BT = BC = CT.

Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Perhatikan bahwa AT = CT sehingga BT merupakan garis berat ∆ABC. Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2BT.

Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk segitiga siku-siku yang bersudut 30° akan memiliki dua sifat yakni:

Sifat pertama, bahwa panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan panjang setengah hipotenusanya.

Sifat kedua, panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku bersudut 30° sama dengan panjang setengah hipotenusanya.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sifat-sifat segitiga siku-siku yang bersudut 30°, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jajargenjang ABCD terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu∆ADC dan ∆CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut.

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan ∆ABC yang diambil dari bagian jajargenjang di atas, seperti gambar di bawah ini.

Kita ketahui bahwa BA = 2CB (sifat kedua dari segitiga siku-siku yang bersudut 30°). Untuk mencari panjang CB kita gunakan teorema Phytagoras di mana ∆CBA siku-siku di C maka:

(BA)² = (AC)² + (CB)²

(2CB)² = 122 + (CB)²

4(CB)² = 144 + (CB)²

3(CB)² = 144

(CB)² = 48

CB = 4√3 cm

BA = 2CB

BA = 2 . 4√3

BA = 8√3 cm.

Oleh karena ∆ADC kongruen dengan ∆CBA maka:

AD = CB

AD = 4√3 cm

DC = BA

DC = 8√3 cm

Contoh Soal 2

Sekarang perhatikan lagi gambar di bawah ini.

Jika AB = 6 cm, BC = 3 cm, DC = 4 cm, ∠DBC = 53°, dan DB = DA = 5 cm. Tentukanlah besar ∠DAB.

Penyelesaian:

Jika semua data-data yang diketahui pada contoh soal 2 di masukan ke dalam gambar, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Sekarang perhatikan gambar di atas. Terlihat bahwa ∆ABD adalah segitiga samakaki. Tarik garis tinggi ∆ABD yang melalui titik D hingga memotong AB secara tegak lurus di E.

Karena panjang AE = BE maka ∆ABD segitiga sama kaki di mana DE merupakan garis tinggi ∆ABD. Adapun ∆DEB siku-siku di E, EB = 3 cm, dan DB = 5 cm. Maka panjang DE dapat dicari dengan teorema Phytagoras yakni:

DE = √((DB)² – (EB)²)

DE = √(5² – 3²)

DE = √(25 – 9)

DE = √16

DE = 4 cm.

Sekarang perhatikan ∆DEB dan ∆DCB, dari dua segitiga tersebut akan diperoleh:

DC = DE = 4 cm

CB = EB = 3 cm

DB = DB = 5 cm (berimpit)

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka ∆DEB kongruen dengan∆DCB, akibatnya:

∠DBC = ∠DBE

∠DBC = 53°.

Selain itu ∆DEB kongruen dengan ∆DEA karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yakni:

ED = ED = 4 cm (berimpit)

DB = DA = 5 cm

EB = EA = 3 cm

Akibatnya:

∠DAB = ∠DBE

∠DAB = 53°

Jadi, besar ∠DAB adalah 53°

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk membuktikan kekongruenan dua buah segitiga, Anda harus menghitung setiap panjang sisi dan besar sudut kedua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu.

Untuk cara yang lebih efektif, Anda cukup mengetahui syarat-syarat dua segitiga yang kongruen. Adapun syarat dua segitiga yang kongruen adalah sebagai berikut.

a)      Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang

Untuk syarat yang pertama ini sudah dibahas pada postingan-postingan sebelumnya, seperti pada postingan yang berjudul “Dua Segitiga yang Kongruen” dan “Sifat Dua Segitiga yang Kongruen”. Jadi untuk syarat ini tidak akan dibahas lagi. Kita lanjut ke syarat berikutnya.

Akan tetapi, untuk memantapkan pemahaman Anda tentang syarat pertama dua segitiga dikatakan kongruen (sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang), silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

PQRS adalah bangun datar jajar genjang, di mana QS merupakan panjang diagonal jajargenjang tersebut. Apakah ∆PQS dan ∆RSQ kongruen? Jelaskan.

Penyelesaian:

Perhatikan jajargenjang PQRS, di mana sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal bidang sehingga QS = SQ. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari ∆PQS dan ∆RSQ sama panjang. Jadi, ∆PQS dan∆RSQ kongruen.

b)     Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar

Untuk memahami syarat ini, sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar tersebut, DE = KL, ∠D = ∠K, dan DF = KM. Jika kita mengukur panjang EF dan LM, besar ∠E dan ∠L, serta besar ∠F dan ∠M maka akan memperoleh hubungan:

EF = LM

∠E = ∠L

∠F = ∠M.

Dengan demikian, pada ∆DEF dan ∆KLM berlaku panjang DE = KL, EF = LM, dan DF = KM. ini berati bahwa pada ∆DEF dan ∆KLM sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Selain itu besar ∠D = ∠K, ∠E = ∠L, dan ∠F = ∠M. ini berati bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Hal ini menunjukkan bahwa ∆DEF dan ∆KLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa salah satu syarat dua segitiga yang kongruen adalah “jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar”.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Selidikilah apakah ∆ABC kongruen dengan ∆DEF? Jelaskan.

Penyelesaian:

Diketahui :

AB = 8 cm

BC = 6 cm

ED = 8 cm

DF = 6 cm

Jawab :

∆ABC dan ∆DEF tersebut memenuhi syarat dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar sehingga ∆ABC kongruen dengan ∆DEF.

c)      Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama Panjang

Untuk memahami syarat yang ke-tiga ini, silahkan perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar tersebut ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan GH = XY. Jika kita mengukur besar ∠I dan ∠Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ, maka akan memperoleh hubungan bahwa besar ∠I = ∠Z, panjang GI = XZ, dan panjang HI = YZ.

Dengan demikian, pada ∆GHI dan ∆XYZ berlaku bahwa ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan ∠I = ∠Z. Ini berati bahwa pada ∆GHI dan ∆XYZ sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Sedangkan panjang GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. Ini berati bahwa pada ∆GHI dan ∆XYZ sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Hal ini menunjukkan bahwa ∆GHI dan ∆XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa “dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang”.

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar di bawah ini.

Selidikilah apakah ∆ABC kongruen dengan ∆PQR? Jelaskan.

Penyelesaian:

Diketahui :

AC = 8 cm

∠BAC = 70°

∠BCA = 50°

PR = 8 cm

∠QPR = 70°

∠QRP = 50°

Jawab :

∆ABC dan ∆PQR tersebut memenuhi syarat dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang sehingga ∆ABC kongruen dengan ∆PQR.

d)     Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang

Untuk memahami syarat yang ke-empat (terakhir), silahkan perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar tersebut diketahui bahwa ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y, dan BC = YZ. Jika kita mengukur ∠C dan ∠Z, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ, maka akan memperoleh hubungan bahwa besar ∠C = ∠Z, AB = XY, dan AC = XZ.

Dengan demikian, pada ∆ABC dan ∆XYZ di atas berlaku bahwa besar ∠A = ∠X,∠B = ∠Y, dan ∠C = ∠Z. Ini menunjukan bahwa pada ∆ABC dan ∆XYZ di atas, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Sedangkan panjang AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ. Ini menunjukan bahwa pada pada ∆ABC dan ∆XYZ di atas, sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Hal ini menunjukkan bahwa pada ∆ABC dan ∆XYZ di atas memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa “dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang”.

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar di bawah ini.

ABCD merupakan bangun datar persegi panjang, di mana BD merupakan panjang diagonal persegi panjang tersebut. Apakah ∆ABD dan ∆BCD kongruen? Jelaskan.

Penyelesaian:

Diketahui :

AD = 8 cm

∠ABC = 30°

∠BDC = 70°

Jawab :

∆ACD dan ∆BCD tersebut memenuhi syarat dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang sehingga ∆ACD kongruen dengan ∆BCD.