Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga

Syarat dua segitiga yang sebangun adalah jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang besesuaian sama besar. Dari syarat dua segitiga yang sebangun tersebut kita akan mencari perbandingan ruas garis pada segitiga. Sebenarnya konsep ini sudah Anda pelajari pada waktu kelas VII semester II tentang materi garis dan sudut.

Untuk mengetahui bagaimana perbandingan ruas/segmen garis pada segitiga perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas diketahui bahwa BC//DE, oleh karena itu pada gambar di atas akan berlaku:

∠DAE = ∠BAC (sudut berimpit)

∠ADE = ∠ABC (sudut sehadap)

∠AED = ∠ACB (sudut sehadap)

Kita ketahui bahwa jika sudut-sudut yang besesuaian sama besar maka dua segitiga tersebut sebagun. Oleh karena itu, ∆ADE dan ∆ABC merupakan dua segitiga yang sebangun. Karena ∆ADE dan ∆ABC sebangun maka akibatnya sisi-sisi yang bersesuaian akan sebanding, yakni:

AE/AC = AD/AB = DE/BC . . . .(**)

Jika pada gambar di atas, AD = p, BD = q, AE = r, CE = s, DE = t, dan BC = u, dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, maka persamaan ** akan menjadi:

AE/AC = AD/AB = DE/BC

AE/(AE + CE) = AD/(AD + BD) = DE/BC

r/(r + s) = p/(p + q) = t/u

Sekarang amati perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q)!

Jika kedua ruas tersebut dikalikan dengan (r + s)(p + q),

maka perbandingan senilai r/(r + s) = p/(p + q) akan menjadi:

r/(r + s) = p/(p + q)

(r + s)(p + q).r/(r + s) = (r + s)(p + q).p/(p + q)

 (p + q).r = (r + s).p

pr + qr = pr + ps

qr = ps

q/p = s/r

Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada gambar di atas adalah sebagai berikut:

q/p = s/r

Berdasarkan perbandingan q/p = s/r dapat dikatakan bahwa jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perbandingan ruas garis pada segitiga, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan panjang OM dan ON pada gambar di atas!

Penyelesaian:

Diketahui :

MN = 12 cm

MP = 3 cm

PN = 9 cm

Ditanya :

Panjang OM dan ON = …?

Jawab :

OM = √(MP.MN)

OM = √(3 cm.12 cm)

OM = √(36 cm²)

OM = 6 cm

ON = √(NP.MN)

ON = √(9 cm.12 cm)

ON = √(108 cm²)

ON = √(36.3 cm²)

ON = 6√3 cm

Jadi panjang OM dan ON adalah 6 cm dan 6√3 cm.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui bahwa ∆PRQ siku-siku, begitu juga dengan ∆PSR. Nyatakan t dalam p, q, dan r.

Penyelesaian:

Diketahui :

PQ = r

PR = q

QR = p

RS = t

Ditanya :

Nyatakan t dalam p, q, dan r

Jawab :

Pada gambar segitga siku-siku pada contoh soal 2 tampak bahwa:

1) ∠PRQ = ∠PSR (siku-siku);

2) ∠QPR = ∠SPR (berimpit).

3) ∠PQR = ∠PRS

Oleh karena itu, ∆PQR sebangun dengan ∆PSR sehingga berlaku hubungan:

RS/QR = PR/PQ

       t/p = q/r